5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LANGRAGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL

Teorema de Rolle

Considere una función valorada real que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) tal que el valor de la función es igual en los extremos finales.

Dado que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), por tanto, puede tener tangentes en varios puntos de la gráfica de la función.

Sin embargo, habrá al menos un punto en la gráfica donde la tangente será paralela al eje X y por tanto su pendiente será 0.

Esta es la afirmación del Teorema de Rolle.

El Teorema de Rolle afirma que si f es una función valorada real la cual es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferencial en el intervalo abierto (a, b) tal que f (a) = f (b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) donde la pendiente de la tangente trazada en ese punto es 0.

El Teorema de Rolle se limita a la condición de que el valor de la función en los puntos extremos del intervalo deben ser iguales.

Por ejemplo: el Teorema de Rolle no es válido para la función g(x) = | x |, donde x Є [−1, 1], porque en x = 0, g(x) no puede ser diferenciada lo cual desafía una de las condiciones necesarias para su existencia.

Otro importante teorema en el contexto de las matemáticas es el teorema del valor medio.

El Teorema de Rolle se considera un caso especial del teorema del valor medio.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente de la tangente en ese punto es igual a

De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es  y f'(c) es la pendiente de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x).

Entonces el teorema de valor medio dice que si la curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en la curva.

En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que  = f'(c).

Al relacionar el teorema del valor medio con el concepto de movimiento, se puede ir profundamente.

Supongamos que una motocicleta hace un viaje a una velocidad de 50 km en una hora.

Por lo tanto, su razón promedio en ese instante es 50km/h.

A fin de mantener una velocidad constante de 50km/h, la motocicleta tiene que viajar a 50 km / h durante todo el tiempo completo o, en caso de que la motocicleta frene en ciertos momentos, entonces debe llenar este vacío acelerando en algunos momentos para mantener la razón de 50km/h durante todo el viaje.

Aquí el Teorema del valor medio puede afirmar que durante todo el recorrido, puede haber llegado un punto donde la velocidad real de la motocicleta, coincide con la velocidad media, es decir 50 km / h.

Este teorema, conocido también como el Teorema de Lagrange, tiene una importancia extrema en el cálculo y puede ser útil para la solución de numerosos problemas.

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