2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y CORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INF. O FUNCION IMPLCITA

Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas

Considere un conjunto N, una función f: X  Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,

  o

  o

 

La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…}  {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

Que también puede ser denotado por,

2.8 FUNCION INVERSA, FUNCION LOGARITMICA, FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Funciones Inversas, Funciones Logarítmicas, Funciones Trigonométricas Inversas

Cualquier función que deshaga una función es llamada función inversa en matemáticas.

A la luz de la declaración anterior se puede concluir que para la función f: X → Y si utilizamos una entrada x para producir y como salida.

La función inversa g: Y → X produciría a x como salida mientras que y sería la cantidad de entrada.

Una función invertible es aquella que tiene una función inversa propia.

El inverso de tal función f es denotado por f⁻¹ y es determinado de forma única.

Para una función dada f: X → Y, su inverso se representa como, 

Aquí se puede decir que tanto f(x) como f⁻¹ (x) son reflejos una de la otra sobre la recta x=y.

Cada función que posee una inversa debe satisfacer la condición que establece que para cada elemento en el dominio de la función existe un único elemento para el cual ningún otro elemento en el dominio de la función puede corresponder.

Por tanto es posible decir que cada elemento en el rango y en el dominio de la función está apareado en una asociación única.

Cada elemento del rango de la función está asociado con un único elemento del dominio de la función y cada elemento del dominio de la función está asociado con un único elemento del rango de la función.

Encontrar la inversa de una función es muy sencillo. Tomemos como ejemplo,

f(x) = 2x + 3

Convierta la ecuación anterior a la forma de variable de x e y.

y = 2x + 3

y – 3 = 2x

y – 3/ 2 = x

Para encontrar el inverso de la ecuación anterior, simplemente intercambie las variables x e y en sus respectivos lugares,

x – 3/ 2 = y sería la inversa de la función de entrada.

Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma, 

Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno.

Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero.

Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial.

También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado.

Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron a problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Observe el ejemplo siguiente,

x = 10^y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener,

y = 10^x

Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas.

Por tanto la ecuación se convertirá en, 

La cual puede ser resuelta utilizando la tabla log.

Las funciones inversas de las funciones trigonométricas se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones ciclométricas.

Estas son el general funciones con múltiples valores.

La afirmación anterior puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo.

Supongamos que z tiene muchos valores.

Ahora la ecuación, Z=sen W

Por lo que no puede existir un valor único de la inversa de esta ecuación hasta que tengamos un valor principal definido para w.

Estas funciones no satisfacen la definición de función inversa, ya que su rango es subconjunto del dominio de las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación junto con sus notaciones alternativas.

1. sin⁻¹ z arcsin z

2. cos⁻¹ z arcos z

3. tan⁻¹ z acrtan z

4. sec⁻¹ z arcsec z

5. cosec⁻¹ z acrcosec z

6. cot⁻¹ z arccot z

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICION, MULTIPLICACION, COMPOSICION

Función de Adición, Función de Multiplicación, Función de Composición

Al igual que en cualquier otra cantidad matemática, es posible realizar operaciones básicas en las funciones.

Es posible sumar dos funciones, restar dos funciones, multiplicar dos funciones, dividir dos funciones y también hacer composiciones unas con las otras.

La suma de dos funciones está denotada por g(x) y f(x) es g + f.

Consideremos dos funciones,

La suma de las dos funciones producirán una sola función como,

Ahora bien, el dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Para simplificar la tarea de la suma de dos funciones, sólo añada las salidas de estas dos funciones.

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,

g(x) = x2 + 2 y,

f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como

(g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

La suma de dos funciones puede entenderse como graficar una de las funciones y tomar la función de ese gráfico como el eje x de la otra función.

Al igual que se suman dos funciones, también es posible multiplicar dos funciones.

Esto es similar a la suma de dos funciones, simplemente en lugar de ser una operación de suma uno necesita realizar la función de multiplicación.

La salida de la multiplicación de dos funciones producirá, 

El dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Como la suma de dos funciones, para llevar a cabo la multiplicación de dos funciones, uno simplemente tiene que multiplicar la salida de las dos funciones de entrada.

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y,

f(x) = √x

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

La multiplicación de una función consigo misma se denota como,

f2(x) = f(x) . f(x)

también es posible multiplicar una función con cualquier cantidad escalar.

Esto es fácil de realizar, sólo multiplique cada una de las salidas con esa cantidad escalar.

La inserción de una de las funciones con otra función es llamada composición de la función.

De este modo, el rango de la función insertada se convertirá en el dominio de la función en la cual se insertó. También se conoce como la aplicación de una función sobre el resultado de otra función.

Hablando en términos matemáticos, la composición de una función g: X  Y sobre la función f: Y  Z es computar la salida de la función f(x) cuando la entrada de la función es f(x) y no x.

La composición de dos funciones siempre satisface la propiedad asociativa. Esto es, si consideramos tres funciones f, g, h. La composición de estas tres funciones,

f 0 (g 0 h) = (f 0 g) 0 h

Aquí el paréntesis es utilizado para indicar la prioridad mientras se realiza la composición de las funciones.

La composición de funciones es también conmutativa, esto es, g 0 f = f 0 g. Pero esto no es cierto en todos los casos.

La composición de dos funciones se denota como, 

Tome como ejemplo,

g(x) = 2x + 3

f(x) = -x2 + 5

g(f(x)) = g(-x2 + 5)

	= 2(-x2 + 5) + 3

	= −2×2 + 10 + 3

	= −2×2 + 13

2.6 FUNCION DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA. FUNCION VALOR ABSOLUTO

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamadauna función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.

Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.

También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCION TRASCENDENTE:

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)
Coseno	cos
Tangente	tan
Cotangente	ctg (cot)
Secante	sec
Cosecante	csc (cosec)

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que suderivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCION POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL

FUNCIONES ALGEBRAICAS

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

FUNCION POLINOMIAL;

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

                                                                  

donde  es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de  multiplicados por coeficientes reales, de la forma: 

                           

FUNCION RACIONAL:

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹ Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinimios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

FUNCION IRRACIONAL:

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical,

Las características generales de estas funciones son:

a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero.

b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o menor que cero.

c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.

cuya f(x)= 0 la funcion irracional va desde los numeros algebraicos desde las coordenadas (x,y). su dominio son los reales y su rango son los numero tales de la forma x,todos son reales por tanto en una funcion de raiz.

2.3 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACION GRAFICA

FUNCION REAL

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elementox de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

                                           

                                             

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

                                           

                                              

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen».

REPRESENTACION GRAFICA

La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x), donde x pertenece al dominio de f. En la figura 1, puede observarse que x es la distancia dirigida desde el eje y, y f(x) es la distancia dirigida desde el eje x.

Figura 1- Gráfica de una función

Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado (llamado criterio de la recta vertical) para funciones de x. Por ejemplo, en la figura 2a), puede verse que la gráfica no define y como función de x, ya que hay una recta vertical que corta a la gráfica dos veces, mientras que en las figuras 2b) y 2c) las gráficas si definen y como función de x.

Figura 2

En la figura 3 pueden verse las gráficas de ocho funciones básicas, que uno debe conocer muy bien.

2.2 FUNCION INYECTIVA, SOBREYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCION INYECTIVA:

Una función f de dominio D = Dom(f) es inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:

Si    x₁, x₂ ∈ D :       x₁ ≠ x₂     ⇒     f(x₁) ≠ f(x₂)

Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.

                                     

FUNCION SOBREYECTIVA:

Una función  f: X → Y  es una función sobreyectiva si:

Im(f) =Y

Esto significa que todo elemento  y ∈ Y  es la imagen de al menos un elemento  x ∈ A . Es decir, la imagen de  f  coincide con el conjunto final.

                         

FUNCION BIYECTIVA

Una funcion f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

                          

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION

VARIABLE:
En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula o algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.

FUNCION:

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

DOMINIO:

El dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función  es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota  o bien . En  se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

CODOMINIO:

El codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función  es el conjunto  que participa en esa función, y se denota  o  o .

Sea  la imagen de una función , entonces . También se puede decir que el codominio es; el conjunto donde reside la componente cartesiana ortogonal asociada la imagen de la o las componentes asociadas a una función.

RECORRIDO DE UNA FUNCION:

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.