Calculo Diferencial 2014 ITM

UNIDAS 1: NUMEROS REALES(TEMARIO)

UNIDAD 1

1.1 LA RECTA NUMERICA

1.2 LOS NUMEROS REALES

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.

1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES

1.5 RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA.

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES.

1.7 RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.

1.7 RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

Ejemplos de algunos problemas:

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un numero real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Propiedades fundamentales

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|\,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 \iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| \le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| \ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\left\| \frac {a}{b}\right\| = \frac {\|a\|}{\|b\|} (si \ b \ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$
$|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a$

1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA

CLASIFICACIONES DE DESIGUALDADES:

Desigualdades lineales: Son mas sencillas puesto que solamente contienen la variable a la primera potencia.

Desigualdades lineales dobles: Son desigualades lineales que contienen dos signos de comparacion.

Desigualdades cuadraticas: Como su nombre lo indica son aquellas en las que en uno de sus miembros o en ambos aparece un termino cuadratico.

Desigualdades racionales: Son aquells en las que aparecen concientes con variables en el denomidador y en el numerador.

SOLUCION DE DESIGUALDADES

Ejemplos:

1.4 INTERVALOS Y SUS REPRESENTACIONES MEDIANTE DESIGUALDADES

INTERVALOS Y SUS REPRESENTACIONES MEDIANTE DESIGUALDADES

INTERVALO: Se llama intervalo al conjunto de numeros reales comprendidos entre dos dados: a y b que se denominan extremos del intervalo. Tambien se llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porcion de la recta final.

Ejemplo:
(2,5) Es un intervalo de extremos 2 y 5 y a este pertenecen todos los numeros comprendidos entre 2 y 5 sin incluir sus extremos.

CLASES DE INTERVALO:

Intervalo abierto:
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los numeros reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

recta

Intervalo cerrado:
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los numeros reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

recta

Intervalos semiabiertos o semicerrados:
Intervalos semiabiertos o semicerrados, [a, b), son todos los numeros entre a y b incluyendo el extremo a.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

recta

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.Por ejemplo:

$2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2+7=9, \; \; 9 \in \mathbb {R}$

$2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2 \cdot 7=14, \; \; 14 \in \mathbb {R}$

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

$2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2-7=-5, \; \; -5 \in \mathbb {R}$

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

$6 \cdot 7=7 \cdot 6=42$

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

$6-7 \neq 7-6$

$\frac {6}{7} \neq \frac {7}{6}$

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

$3 \cdot (4 \cdot 5)=(3 \cdot 4) \cdot 5=60$

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

$3-(4-5) \neq (3-4)-5$

$3 \div (4 \div 5) \neq (3 \div 4) \div 5$

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas.

$3 \cdot (4+5)=(3 \cdot 4) + (3 \cdot 5)=27$

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

$25 \cdot 1=25$ , el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

el inverso aditivo para esta suma es el número

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

$28 \cdot \left ( \frac{1}{28} \right )=1$ , el inverso multiplicativo para esta multiplicación es $\frac{1}{28}$

1.2 LOS NUMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.

)

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero.

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma

, donde m y n son enteros

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.